1、直接设元

在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．

例1 某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．

分析 本例中要求三个量，即参赛人数、未参赛人数，以及初中一年级人数．由已知条件易知，可直接设未参赛人数为x，那么参赛人数便是3x．于是全年级共有(x+3x)人．

由已知，全年级人数减少6人，即(x+3x)-6， ①而未参加人数增加6人时，则参加人数是未参加人数的2倍，从而总人数为

(x+6)+2(x+6)．②

由①，②自然可列出方程．

解 设未参加的学生有x人，则根据分析，①，②两式应该相等，所以有方程

(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6，

所以

x+6+2x+12=4x-6，

所以 3x+18=4x-6，

所以 x=24(人)．

所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有

3×24=72(人)．

全年级有学生

4×24=96(人)．

说明 本例若按所求量次序设参加人数为x人，则未参加人数为1/3,这样产生分数，会给计算带来某些麻烦。

2.间接设元

如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．

例4 若进货价降低8％，而售出价不变，那么利润可由目前的p％增加到(p+10)％，求p．

分析 本题若直接设未知元为x，则不易列方程，为此，可间接设元，设进货价为x，则下降后的进货价为0.92x．由于售出价不变，它可用以下方程式表示：

x(1+p％)=0.92x[1+(10+p)％]．

解 设原进货价为x，则下降8％后的进货价为0.92x．根据题意售货价不变，故有以下方程

x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)]，

约去x得

1+0.01p=0.92［1+0.01(p+10)］，

所以

1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092，

所以

(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1，

即 0.0008p=0.012，

所以 p=15．

答 原利润为15％．

3.设辅助元

有时为了解题方便，可设某些量为辅助量，参与列方程和运算，最后把这些辅助量约去，得出要求的值．

例6 从两个重量分别为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？

分析与解 设切下的重量是x千克，并设重m千克的铜合金中含铜的百分数为q1，重n千克的铜合金中含铜的百分数为q2，则切下的两块中分别含铜xq1和xq2，而混合熔炼后所得两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]和[xq2+(m-x)q1]．故依题意有方程

1．已知甲、乙、丙三人．甲单独做一件工作的时间是乙丙两人合作做这件工作所用时间的a倍，乙独做这件工作是甲丙两人合作做这件工作的b倍．求丙单独做这件工作是甲乙两人合作做这件工作所需时间的几倍？

2．有甲乙两容量均为20升(L)的容器，甲容器内装满纯酒精，而乙为空容器．自甲内倒出若干酒精于乙内，再将乙其余部分注满水，将此混合溶液注满甲容器，最后自甲容器回注入乙容器62/3升，则两容器内所含纯酒精量相等，问第一次自甲容器倒出多少酒精？

3．某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时15千米的速度走平路到B地，共用了55分钟．回来时他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用了11/2小时，求地面上A，B两地相距多少千米？

4．有一块长方形的场地，长比宽多4米，周围有一条宽2米的道路环绕着，已知道路的面积和这块土地的面积相等．求这块场地的周长是多少米？

5．一个四位数是奇数，它的千位数字小于其他各位数字，十位数字等于千位数字和个位数字之和的2倍，求这个四位