有趣的数学——周长与无穷级数

2016-11-12 13:48 轻风数学家园



一个偶然的机会看了西奥妮·帕帕斯(TheoniPappas)的《发现数学——原来数学这么有趣》【何竖芬译】一书,自己对数学有了新的认识。在自己从教二十多年的经历中,没多少同学感觉数学是有趣的,因此感觉自己有义务告诉同学们数学在我们的生活中无处不在,数学本就是人们生活体验的结晶。正如西奥妮·帕帕斯在序言中说道:

想要体验数学的乐趣,你需要认识到数学不是孤立的学科,它就存在于我们周围的事物中,因此,不要让自己埋头于烦琐的运算,劳心费神,没完没了。而且,很少有人抓住数学的真谛——它与我们的生活和周围环境是那样紧密地联系在一起,数学概念甚至与生俱来就存在于生命细胞的结构里。

本书通过描述数学在生活中的具体体现,旨在帮助你认识到数学与 世界是密不可分的。

数学的乐趣与你第一次发现其他新鲜事物是相似的,它几乎是小孩 子才有的一种好奇,而一旦体验到了,你就再也忘记不了——就如同你第一次透过显微镜观察到你以前所看不到的周围的事物一样,是那么地兴奋和快乐。

西奥妮·帕帕斯(TheoniPappas)是一位数学教师和顾问,1966年获伯克利加州大学学士学位,1967年获斯坦福大学硕士学位。她致力于消除数学中的神秘感以及与此有关的优越感和恐惧感。

周长与无穷级数


下图代表了这些三角形是无穷尽的,有无数个。每一个内接三角形的三个顶点都是外三角形的三边中点。

要想得出这些三角形的周长之和,我们就必须看看通过观察下列线段上的数字,你可以得出各部分之和。

我们注意到,每个线段相加之和,其长度越来越接近1,但是永远也不会超出1。由此可推定,这些级数的总和是1。

现在,你可能会问,它将如何帮助我们求出这些三角形的周长之和呢?首先,让我们把每个三角形的周长都列出来。

30,15,15/2,15/4,15/8,15/32,15/64,15/128,--

现在,我们把这些级数相加,就可以得出这些三角形的周长之和。

30,15,15/2,15/4,15/8,15/32,15/64, 15/128,…

简化上面的式子,就可以得到:

45+15 (1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+---)

现在用1来替换级数之和,就可以得到:

45+15 (1) =45+15=60 即为周长。




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